Question

已知椭圆的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知解得b=c=，从而a=2．
∴椭圆方程为 （4分）
（2）A（-2，0），B（2，0），
可设直线AM的方程为y=k（x+2），P（x₁，y₁），MB⊥AB，∴M（2，4k），
直线AM代入椭圆方程x²+2y²=4，
得 （1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0（6分）
∴，
∴x₁=，
∴P（，），
设C（x₀，0），且x₀≠-2，以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，则
MC⊥BP，∴=0，即：（2-x₀）+4k=，
∴x₀=0，
故存在异于点A的定点C（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点．
分析：（1）由题意知解得b，c，从而a=2．最后写出椭圆方程；
（2）可设直线AM的方程为y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求出P点的横坐标x₁，再利用向量垂直即可求得C点的横坐标x₀，从而解决问题．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．