Question

已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ; (Ⅱ) 直线的方程为或

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 由离心率和焦点坐标两个条件求出椭圆的C的方程.

(Ⅱ)首先假设存在点P，再通过向量与共线.得到关于一个关于点P的横纵坐标的的一个等式.因为点P在椭圆上，所以又得到一个关于的一个方程.由此可解出的值.从而写出直线AP的方程.本小题是椭圆中的一个较简单的问题，通过两个已知条件求出椭圆的方程.接着利用椭圆方程以及向量的共线知识，求出共线问题.

试题解析：(1)设椭圆的方程为, 

离心率,右焦点为,,, 

故椭圆的方程为                   6分

(2)假设椭圆上存在点(),使得向量与共线, 

,,             7分

 (1)                    8分

又点()在椭圆上,   (2)       9分

由(1)、(2)组成方程组解得:,或,          10分

当点的坐标为时,直线的方程为,       11分

当点的坐标为时,直线的方程为,    12分

故直线的方程为或              13分

考点：1.椭圆的标准方程.2.向量的共线.3.直线方程的表示.