Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

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，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：先设椭圆方程的方程，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=

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，可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求m，n的值，从而可确定椭圆方程．

解答：解析：设所求椭圆的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0），
依题意，点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的坐标满足方程组

mx2+ny2=1 y=2x+1

解之并整理得（m+4n）x²+4nx+n-1=0
所以：x₁+x₂=-

4n

m+4n

，x₁x₂=

n-1

m+4n

        ①
由OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（2x₁+1）（2x₂+1）=0，5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0
∴5×

n-1

m+4n

+2×

-4n

m+4n

+1=0，∴m+n=5      ②
又由|PQ|=

10

11

∴|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=

100

121

∴（x₁-x₂）²+（2x₁-2x₂）²=

100

121

，
∴5（x₁+x₂）²-20x₁x₂=

100

121

，（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

20

121

，③
由①②③可得：19n²-98n+120=0
∴n=2或n=

60

19

，m=3或m=

35

19

故所求椭圆方程为3x²+2y²=1，或

35x2

19

+

60y2

19

=1．

点评：本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题．