Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，且椭圆经过圆C：x²+y²-4x+2

2

y=0的圆心C．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）把圆C的方程化为标准方程，进而求得圆心和半径，设椭圆的标准方程，根据题设得方程组求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）跟椭圆方程求得焦点坐标，根据两点间的距离求得|F₂C|小于圆的半径，判断出F₂在圆C内，过F₂没有圆C的切线，设直线的方程，求得点C到直线l的距离进而求得k，则直线方程可得．

解答：解：（1）圆C方程化为：（x-2）²+（y+

2

）²=6，圆心C（2，-

2

），半径r=

6

设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则

4 a2 + 2 b2 =1 1-( b a )2=( 2 2 )2

?

a2=8 b2=4

所以所求的椭圆的方程是：

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由（1）得到椭圆的左右焦点分别是F₁（-2，0），F₂（2，0），
|F₂C|=

(2-2)2+(0+ 2) 2

=

2

＜

6

∴F₂在C内，故过F₂没有圆C的切线，设l的方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0
点C（2，-

2

）到直线l的距离为d=

|2k+ 2 +2k|

1+k2

，由d=

6

得

|2k+ 2 +2k|

1+k2

=

6

解得：k=

2

5

或k=-

2

，故l的方程为

2

x-5y+2

2

=0或

2

x+y+2

2

=0

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．