Question

在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为________．

Answer 1

3
分析：由条件求得bccosA=9，bcsinA=6，tanA=，可得c=5，b=3，a=4，以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．设 =，=，则=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．
解答：△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA．
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°．
∵=9，S_△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6，∴tanA=．
根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+（1-λ）=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）．
设 =，=，则||=||=1，且 =（1，0），=（0，1）．
∴=（x，0）+（0，y）=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥2，解得xy≤3，
故所求的xy最大值为：3．
故答案为 3．
点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最大值，属于中档题．