Question

已知函数f（x）=（x³+ax）e^x，x∈R．
（I）若a=0，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在区间（0，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）当a=0时，f（x）=x³e^x
∴f'（x）=3x²e^x+x³e^x=x²（3+x）e^x，
令f^′（x）=0，解得x=0，或-3．
①当x＞-3时，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
②当x＜-3时，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）=x³e^x在（-∞，-3）为减函数，在（-3，+∞）为增函数．
（II）∵f'（x）=（3x²+a）e^x+（x³+ax）e^x=（x³+3x²+ax+a）e^x
由已知得（x³+3x²+ax+a）e^x≤0在（0，1）上恒成立，
∴在（0，1）上恒成立．
令．
则=-．
∵x∈（0，1），∴g^′（x）＜0．
∴函数g（x）在区间（0，1）上是减函数．
∴a≤g（1）=-2．
故a≤-2．
分析：（Ⅰ）利用导数即可得出其单调区间；
（Ⅱ）利用导数可知f^′（x）≤0（x∈（0，1）），通过分离参数，再转化为利用导数求一个函数的最值问题即可．
点评：熟练掌握利用函数的导数研究函数的单调性及使用分离参数法求参数的取值范围是解题的关键．