Question

（2008•河西区三模）设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+b₂=7，a₃+b₃=16．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，由题意列式求出公比和公差，则{a_n}，{b_n}的通项公式可求；
（2）直接利用错位相减法求数列{

an

bn

}的前n项和．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q
则

a1+d+b1q=7 a1+2d+b1q2=16

，即

d+q=6＜1＞ 2d+q2=15＜2＞

＜2＞-＜1＞×2得，q²-2q-3=0，即（q-3）（q+1）=0．
∴q=3，q=-1（舍），代入＜1＞得d=3．
∴an=1+(n-1)•3=3n-2，bn=3n-1
（2）

an

bn

=

3n-2

3n-1

∴Sn=1+

4

3

+

7

32

+

10

33

+…+

3n-2

3n-1

①
3Sn=3+4+

7

3

+

10

32

+…+

3n-2

3n-2

②
②-①得2Sn=3+3+

3

3

+

3

32

+…+

3

3n-2

-

3n-2

3n-1

=3+3(1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-2

)-

3n-2

3n-1

=3+3•

1- 1 3n-1

1- 1 3

-

3n-2

3n-1

=3+

9

2

•(1-

1

3n-1

)-

3n-2

3n-1

=

15

2

-

6n+5

2•3n-1

∴Sn=

15

4

-

6n+5

4•3n-1

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．