Question

(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.

（1）求证：平面；    　

（2）求二面角的大小；

（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离

为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解析：解法一：（1）证明：∵底面为正方形，

  ∴，又，  ∴平面，

∴. 同理可证，   ∴平面．         

（2）解：设为中点，连结，又为中点，

可得，从而底面．

过 作的垂线，垂足为,连结．

 由三垂线定理有，

∴为二面角的平面角.

在中，可求得   ∴．                 

∴ 二面角的大小为．  

（3）由为中点可知,

要使得点到平面的距离为，即要点到平面的距离为.

 过 作的垂线，垂足为,

∵平面，∴平面平面，∴平面，

即为点到平面的距离.∴，∴．            

 设，由与相似可得，∴，即．

∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．

解法二：（Ⅰ）证明：同解www.ks5u.com法一．

（2）解：建立如图的空间直角坐标系， .  

设为平面的一个法向量，则，．

又

  令则得．      

又是平面的一个法向量，

设二面角的大小为 ，

则．

∴ 二面角的大小为．  

（3）解：设

为平面的一个法向量，

则，．又，

 令则得．  又

∴点到平面的距离，∴，解得，即 ，∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为,且为中点