Question

（本题12分）如图，四棱柱ABCD—ABCD中，AD平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA=2．

（1）求证：CD∥平面ABBA；

（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值；

（3）求二面角D—AC一A的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析。

（2）

（3）

【解析】（1）证明：四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁//CC₁，

又CC₁面ABB₁A₁，所以CC₁//平面ABB₁A₁，

ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD面ABB₁A₁，所以CD//平面ABB₁A₁，

所以平面CDD₁C₁//平面ABB₁A₁，

所以C_1D//平面ABB₁A₁。

（2）ABCD是正方形，AD⊥CD，

因为A₁D⊥平面ABCD，所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，

在△ADA₁中，由已知可得A₁D＝，

所以D（0，0，0），A₁（0，0，），A（1，0，0），C₁（－1，1，）

B₁（0，1，），D₁（－1，0，），B（0，1，0）[来源:Z.xx.k.Com]

因为A₁D⊥平面ABCD，

所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，

A₁D⊥B₁D₁，

又B₁D₁⊥A₁C₁，

所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D₁，

所以平面A₁C₁D₁的一个法向量为＝（1，1，0）

设与所成的角为β，

则，

所以直线BD₁与平面A₁C₁D₁所成角的正弦值为。

（3）设平面A₁C₁A的法向量为，

则，所以

令c＝，可得＝

设二面角D—A₁C₁—A的大小为α，

则