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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，已知O为△ABC的外心，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足
    CO
    •
    AB
    =
    BO
    •
    CA
    ．
    （1）推导出三边a，b，c之间的关系式；
    （2）求
    tanA
    tanB
    +
    tanA
    tanC
    的值．
    分析：（1）取AB、AC的中点E、F，则根据三角形法则可得：
    CO
    •
    AB
    =
    1
    2
    (
    CB
    +
    CA
    )•(
    CB
    -
    CA
    )=
    1
    2
    (a2-b2)    ，同理
    BO
    •
    CA
    =
    1
    2
    (c2-a2)    ；进而得到答案．
    （2）由题意可得：
    tanA
    tanB
    +
    tanA
    tanC
    =(
    cosB
    sinB
    +
    cosC
    sinC
    )•
    sinA
    cosA
    ，再结合两角和与差的正余弦公式、正弦定理、余弦定理进行化简即可求出答案．
    解答：解：（1）取AB、AC的中点E、F，
    则
    CO
    •
    AB
    =(
    CE
    +
    EO
    )•
    AB
    =
    CE
    •
    AB
    =
    1
    2
    (
    CB
    +
    CA
    )•(
    CB
    -
    CA
    )=
    1
    2
    (a2-b2)…(4分)
    同理
    BO
    •
    CA
    =
    1
    2
    (c2-a2)    ；
    所以2a2=b2+c2…（8分）
    （2）由题意可得：
    tanA
    tanB
    +
    tanA
    tanC
    =(
    cosB
    sinB
    +
    cosC
    sinC
    )•
    sinA
    cosA
    =
    sin(B+C)•sinA
    sinB•sinC•cosA
    =
    a2
    bc•
    b2+c2-a2
    2bc
    =2…(12分)
    点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的三角形法则，以及解三角形的正弦定理与余弦定理等有关三角形的常用知识点．
    练习册系列答案
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    如图，已知⊙O与CA、CB相切于点A、B，OA=OB=2
    		3
    cm，AB=6 cm，则∠ACB的度数为
     
    ．精英家教网

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知O为△ABC的外心，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足
    CO
    •
    AB
    =
    BO
    •
    CA
    ．
    （Ⅰ）证明：2a2=b2+c2； 
    （Ⅱ）求
    tanA
    tanB
    +
    tanA
    tanC
    的值．

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    （2011•海淀区二模）如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D，若AD=3，BD=2，且D为OC的中点，则CD的长为
    		2
    		2
    ．

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    如图，已知O为△ABC内一点，D、E、F分别为边 BC、CA及AB中点．

    （1）求证：++=0是O为△ABC的重心的充要条件．

    （2）求证：△ABC与△DEF重心重合．??

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