Question

已知数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N^*，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设可知，，
∵a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）×1=n-3，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=，
∴．
（Ⅱ）设，
显然，n=1，2，3时，c_n=0，
又，
∴当n=3时，，∴，
当n=4时，，∴，
当n=5时，，∴，
当n≥6时，恒成立，
∴c_n+1=a_n+1-b_n+1＞3+c_n＞3恒成立，
∴存在k=5，使得．
分析：（Ⅰ）由题设可知，，由此能够推出．
（Ⅱ）设，由题设条件知，由此入手能够推导出存在k=5，使得．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．