Question

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：

数列{a_n}，若从第二项起，每一项与前一项的和等于同一个常数，则称该数列为等和数列

；已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2，公和为5，那么a₁₈的值为

3

．这个数列的前n项和S_n的计算公式为

Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n为偶数 ，n为奇数

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．

Answer 1

分析：这是一个类比推理的问题，在类比推理中，等差数列到等和数列的类比推理方法一般为：减法运算类比推理为加法运算，由：“如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列”类比推理得：“数列{a_n}，若从第二项起，每一项与前一项的和等于同一个常数，则称该数列为等和数列”．再由等和数列的定义，我们可得等和数列的所有奇数项相等，所有偶数项也相等，进而根据a₁=2，公和为5，求出数列的通项公式，进而得出数列的前n项和S_n的计算公式．

解答：解：由等差数列的性质类比推理等和数列的性质时
类比推理方法一般为：
减法运算类比推理为加法运算，
由：“如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．”
类比推理得：
“数列{a_n}，若从第二项起，每一项与前一项的和等于同一个常数，则称该数列为等和数列”
∵a₁=2，公和为5，
∴a₂=3，a₃=2，a₄=3，a₅=2，…a_2n=3，a_2n+1=2，（n∈N）
∴a₁₈=3；
∴a_n=

2，n为奇数 3，n为偶数

，
∴这个数列的前n项和S_n的计算公式为 Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n为偶数 ，n为奇数

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．
故答案为：数列{a_n}，若从第二项起，每一项与前一项的和等于同一个常数，则称该数列为等和数列；3；Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n为偶数 ，n为奇数

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．

点评：本题考查的知识点是数列的概念及简单表示法，其中类比推理出等和数列的概念并分析出等和数列的性质是解答本题的关键．