Question

7．已知正项数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=4b_n，且b_n+1=a_n+b_n，x_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，则当x₂₀₁₃+x₂₀₁₄最小时，x₂₀₁₅=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设a₂₀₁₃=A，b₂₀₁₃=B，得x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=$\frac{A+B}{B}+\frac{4B}{A+B}$-1≥2$\sqrt{\frac{A+B}{B}•\frac{4B}{A+B}}$-1=3，当且仅当A=B时，取得最小值3，由此能求出当x₂₀₁₃+x₂₀₁₄最小时，x₂₀₁₅的值．

解答 解：∵正项数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=4b_n，且b_n+1=a_n+b_n，x_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
设a₂₀₁₃=A，b₂₀₁₃=B，
∴x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=$\frac{{a}_{2013}}{{b}_{2013}}+\frac{{a}_{2014}}{{b}_{2014}}$=$\frac{{a}_{2013}}{{b}_{2013}}+\frac{4{b}_{2013}}{{a}_{2013}+{b}_{2013}}$
=$\frac{A}{B}+\frac{4B}{A+B}$=$\frac{{A}^{2}+AB+4{B}^{2}}{B（A+B）}$
=$\frac{（A+B）^{2}-AB+3{B}^{2}}{B（A+B）}$
=$\frac{（A+B）^{2}-（A+B）B+4{B}^{2}}{B（A+B）}$
=$\frac{A+B}{B}+\frac{4B}{A+B}$-1
≥2$\sqrt{\frac{A+B}{B}•\frac{4B}{A+B}}$-1=3，
当且仅当A=B时，取得最小值3，
此时，x₂₀₁₅=$\frac{{a}_{2015}}{{b}_{2015}}$=$\frac{4{b}_{2014}}{{a}_{2014}+{b}_{2014}}$=$\frac{4（A+B）}{4B+（A+B）}$=$\frac{4（B+B）}{4B+（B+B）}$=$\frac{4}{3}$．
∴当x₂₀₁₃+x₂₀₁₄最小时，x₂₀₁₅=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意换元法和均值定理的合理运用．