Question

【题目】已知函数 (mR)

（1）当时，

①求函数在x=1处的切线方程；

②求函数在上的最大，最小值．

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）①；②函数在上的最大值为，最小值为；（2）.

【解析】

（1）当时，求出函数的导数.

①根据导数的几何意义求出函数在x=1处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，最后化成一般形式即可；

②根据导函数的正负性判断出函数的单调性，进而根据函数的极值定义求出函数的极值，再比较给定区间端点函数值进行求解即可；

（2）求出函数的导数，根据函数单调性和导数正负性的关系，得到不等式，常变量分离，构造新函数，判断新函数的单调性，求出新函数的最值进行求解即可.

（1）当时，.

①当x=1时，，

所以函数在x=1处的切线的斜率为，因此切线方程为：

；

②因为，所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以当时，函数有极小值，

而，

所以函数在上的最大值为，最小值为；

（2），

因为函数在上单调递增，

所以 在时恒成立，

即在时恒成立，设，，

因为当时，函数单调递增，所以，

因此要想在时恒成立，只需.

所以当函数在上单调递增时，实数的取值范围为.