Question

已知向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)．
（1）求证：

a

⊥

b

；
（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使

x

=

a

+(t+2s)

b

与

y

=-k

a

+(

1

t

+

1

s

)

b

垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，知

a

•

b

= 

3

×

1

2

+(-1)×

3

2

=0，由此能证明

a

⊥

b

．
（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使

x

=

a

+(t+2s)

b

与

y

=-k

a

+(

1

t

+

1

s

)

b

垂直．由

x

=

a

+(t+2s)

b

，

y

=-k

a

+(

1

t

+

1

s

)

b

，知

x

•

y

=[

a

+(t+2s)

b

]•[-k

a

+(

1

t

+

1

s

)

b

]=-4k+1+

2s

t

+

t

s

+2=0，由此能求出k的最小值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
∴

a

•

b

= 

3

×

1

2

+(-1)×

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

．
（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使

x

=

a

+(t+2s)

b

与

y

=-k

a

+(

1

t

+

1

s

)

b

垂直．
∵向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
∴

a

•

b

=0，
∵

x

=

a

+(t+2s)

b

，

y

=-k

a

+(

1

t

+

1

s

)

b

，
∴

x

•

y

=[

a

+(t+2s)

b

]•[-k

a

+(

1

t

+

1

s

)

b

]
=-k

a

2-k（t+2s）

a

•

b

+（

1

t

+

1

s

）

a

•

b

+（t+2s）（

1

t

+

1

s

）•

b

 2
=-4k+1+

2s

t

+

t

s

+2=0，
∴k=

3+ 2s t + t s

4

≥

3+2 2s t •  t s

4

=

3+2 2

4

．
∴k的最小值是

3+2 2

4

．

点评：本题考查平面向量垂直的证明和两向量垂直时最小的k的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．