Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{C_n}对任意正整数n均有成立，求{C_n}的通项；
（3）试比较与的大小，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}是公差为d的等差数列a₁=（d-2）²，a₃=d²
∴a₃-a₁=4d-4=2d∴d=2，a₁=0∴a_n=2n-2…（2分）
同理：b_n=3^n-1…（4分）
（2）∵
∴
以上两式相减：
∴…（6分）
∴C_n=2•3^n-1（n≥2），经检验，n=1仍然成立
∴C_n=2•3^n-1…（8分）
（3）；
∴-==…（9分）
当n=1时，=
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰2⁰+C_n¹2¹+…+C_nⁿ2ⁿ＞2n+1
∴
综上所述：n=1时，=，
n≥2时，…（12分）
分析：（1）通过已知条件直接求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）通过，列出n-1的表达式，作差即可求{C_n}的通项公式；
（3）分别计算与的表达式，通过二项式定理，证明判断的结果即可．
点评：本题考查数列通项公式的求法，二项式定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．