Question

在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…，这些数叫做三角形数，其通项为

n(n+1)

2

，前n项和为sn=

n(n+1)(n+2)

6

，如下图所示，有一列三角形数表，其位于三角形的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，依次记各三角形数表中的所有数之和为a_n，则a1=

0+2+6

4

=

2(1+3)

4

=2，a2=

0+3+9+18

9

=

3(1+3+6)

9

=

10

3

．
（1）求a₃，a₄，并写出a_n的表达式；
（2）令b_n=

an

an+1

+

an+1

an

，证明2n＜b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2n+2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₂可得a₃=

4S4

16

=

S4

4

=5，a4=

S5

5

=7，?an=

Sn+1

n+1

=

(n+2)(n+3)

6

．
（2）由bn=

(n+2)(n+3)

6

6

(n+3)(n+4)

+

(n+3)(n+4)

6

6

(n+2)(n+3)

=2+2(

1

n+2

-

1

n+4

)，知b₁+b₂+b₃+…+b_n=2n+2[(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

n+2

-

1

n+4

)]，由此知2n＜b₁+b₂+b₃++b_n＜2n+2．

解答：解：（1）∵a1=

0+2+6

4

=

2(1+3)

4

=2，a2=

0+3+9+18

9

=

3(1+3+6)

9

=

10

3

，
∴a₃=

4S4

16

=

S4

4

=5，a4=

S5

5

=7，?an=

Sn+1

n+1

=

(n+2)(n+3)

6

．
（2）bn=

(n+2)(n+3)

6

6

(n+3)(n+4)

+

(n+3)(n+4)

6

6

(n+2)(n+3)

=2+2(

1

n+2

-

1

n+4

)，

?b1+b2++bn=2n+2[( 1 3 - 1 5 )+( 1 4 - 1 6 )+( 1 5 - 1 7 )+( 1 6 - 1 8 )+( 1 n+2 - 1 n+4 )] =2n+2[ 1 3 + 1 4 - 1 n+3 - 1 n+4 ]=2n+2[ n 3(n+3) + n 4(n+4) ]

，
而0＜

n

3(n+3)

+

n

4(n+4)

＜

1

3

+

1

4

＜1，
∴2n＜b₁+b₂+b₃++b_n＜2n+2

点评：本题考查数列的性质和应用及数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．