Question

8．设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b（sinB-sinC）+（c-a）（sinA+sinC）=0
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，sinC=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得b²+c²-a²=bc，由由余弦定理求角A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，sinC=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$sinB，利用三角形的面积公式，即可求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）因为b（sinB-sinC）+（c-a）（sinA+sinC）=0，
由正弦定理得b（b-a）+（c-a）（a+c）=0，∴b²+c²-a²=bc，…（3分）
∴由余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，∴在△ABC中，$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）方法一：因为$sinC=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}sinB$，且$A=\frac{π}{3}$，∴$sin（\frac{2}{3}π-B）=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}sinB$
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}sinB$，∴tanB=1，在△ABC中，$B=\frac{π}{4}$
又在△ABC中，由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，∴$b=\sqrt{2}$
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{6}}}{2}\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$…（12分）
方法二：因为$sinC=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}sinB$，由正弦定理得$c=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}b$
而$a=\sqrt{3}$，$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理得b²+c²-bc=a²，∴${b^2}+\frac{{{{（1+\sqrt{3}）}^2}}}{4}{b^2}-\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}{b^2}=3$
∴b²=2，即$b=\sqrt{2}$，$c=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$…（12分）

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．