Question

已知f（x）=lnx+

a-x

x

，a为常数且a＞0，求当f（x）在[1，2]区间的最小值为

1

2

时a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：f(x)≥

1

2

恒成立，x∈[1，2]?a≥(

3

2

x-xlnx)max，x∈[1，2]，a＞0．令g（x）=

3

2

x-xlnx，x∈[1，2]，a＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：f(x)≥

1

2

恒成立，x∈[1，2]?a≥(

3

2

x-xlnx)max，x∈[1，2]，a＞0．
令g（x）=

3

2

x-xlnx，x∈[1，2]，a＞0．
则g′(x)=

3

2

-(lnx+1)=

1

2

-lnx，
令g′（x）＞0，解得1≤x＜

e

，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜，解得

e

＜x≤2，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=

e

时，函数g（x）取得极大值即最大值

3

2

e

-

1

2

e

=

e

．
∴a≥

e

．
∴当f（x）在[1，2]区间的最小值为

1

2

时a=

e

．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．