Question

4．设a为常数，记函数$f（x）=k{（\frac{x-1}{x+1}）^2}$，x＞1的反函数为f^-1（x）．已知y=f^-1（x）的图象经过点$（\frac{1}{4}，3）$．
（Ⅰ）求实数k的值和反函数f^-1（x）的解析式；
（Ⅱ）定义函数$F（x）={log_c}[{f^{-1}}（x）]-{log_c}\frac{{c-\sqrt{x}}}{{1-\sqrt{x}}}$，其中常数c＞0且c≠1，求函数F（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由y=f^-1（x）的图象经过点$（\frac{1}{4}，3）$，得到关于k的等式，求出实数k的值，进一步求得反函数f^-1（x）的解析式；
（Ⅱ）把f^-1（x）的解析式代入$F（x）={log_c}[{f^{-1}}（x）]-{log_c}\frac{{c-\sqrt{x}}}{{1-\sqrt{x}}}$，化简整理后求出真数的范围，可得函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=k{（\frac{x-1}{x+1}）^2}$，且y=f^-1（x）的图象经过点$（\frac{1}{4}，3）$，
∴$k（\frac{3-1}{3+1}）^{2}=\frac{1}{4}$，解得k=1，
∴$y=f（x）=（\frac{x-1}{x+1}）^{2}$（x＞1），则$\frac{x-1}{x+1}=\sqrt{y}$，$x=\frac{1+\sqrt{y}}{1-\sqrt{y}}$．
∴${f}^{-1}（x）=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$（0＜x＜1）；
（Ⅱ）$F（x）={log_c}[{f^{-1}}（x）]-{log_c}\frac{{c-\sqrt{x}}}{{1-\sqrt{x}}}$=$lo{g}_{c}\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}-lo{g}_{c}\frac{c-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$
=$lo{g}_{c}\frac{1+\sqrt{x}}{c-\sqrt{x}}$（0＜x＜1）．
要使该函数有意义，则c-$\sqrt{x}＞0$恒成立，
∵0＜x＜1，∴c＞1．
由t=$\frac{1+\sqrt{x}}{c-\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-c}=-\frac{\sqrt{x}-c+c+1}{\sqrt{x}-c}$=$-\frac{c+1}{\sqrt{x}-c}-1$，
∵0＜x＜1，∴0$＜\sqrt{x}＜1$，$-c＜\sqrt{x}-c＜1-c$，
∴$\frac{1}{1-c}＜\frac{1}{\sqrt{x}-c}＜\frac{1}{-c}$，$\frac{c+1}{c}＜\frac{1+\sqrt{x}}{c-\sqrt{x}}＜\frac{2}{c-1}$．
∴函数F（x）的值域为[$lo{g}_{c}\frac{c+1}{c}，lo{g}_{c}\frac{2}{c-1}$]．

点评 本题考查函数的性质，考查了函数反函数的求法，训练了函数值域的求法，是中档题．