Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=tanα，（0＜α＜$\frac{π}{2}$，α≠$\frac{π}{6}$），a_n+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*）关于下列命题：
①若α=$\frac{π}{3}$，则a₃=0；
②对任意满足条件的角α，均有a_n+3=a_n（n∈N^*）
③存在α₀∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），使得S_3n=0
④当$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{3}$时，S_3n＜0
其中正确的命题有（　　）

• A． 1 个
• B． 2 个
• C． 3 个
• D． 4 个

Answer 1

分析 ①由a₁=$tan\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，可得a₂=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，a₃=0，即可判断出正误；
②对任意的a₁（a₁≠），a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，a_n+3=$\frac{\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}}$=a_n，即可判断出正误；
③由②的周期性可知：只要证明存在α₀∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），使得S₃=0即可．a₂=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$，a₃=$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$．可得S₃=a₁+a₂+a₃=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$，取$α=\frac{π}{3}$，可得S₃=0，即可判断出正误．
④当$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{3}$时，$\frac{\sqrt{3}}{3}＜tanα＜\sqrt{3}$．由②的周期性可知：只要证明S₃＜0即可，S₃=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$＜0，即可判断出正误．

解答 解：①∵a₁=$tan\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴a₂=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，∴a₃=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）}$=0，因此正确；
②对任意的a₁（a₁≠），a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，a_n+3=$\frac{\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}}$=a_n，∴a_n+3=a_n，正确；
③由②的周期性可知：只要证明存在α₀∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），使得S₃=0即可．a₂=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$，a₃=$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$．S₃=a₁+a₂+a₃=tanα+$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$+$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$，取$α=\frac{π}{3}$，可得S₃=0，因此正确．
④当$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{3}$时，$\frac{\sqrt{3}}{3}＜tanα＜\sqrt{3}$．由②的周期性可知：只要证明S₃＜0即可，a₂=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$，a₃=$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$．S₃=a₁+a₂+a₃=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$＜0，因此正确．
综上可得：①②③④都正确．
故选：D．

点评 本题考查了正切和差公式、数列递推关系、数列的周期性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．