Question

记函数f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，
例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）设函数f（x）=log₂（1-2^x），判断f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）f(x)=

ax

x+b

∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

Answer 1

分析：（1）根据题中的定义判断f（x）是否是M的元素即可．再求得f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）根据定义，问题可转换为f₂（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立．

a• ax x+b

ax x+b +b

=x，从而可得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．

解答：解：（1）∵f(f(x))=log2(1-2log2(1-2x))=log2(1-1+2x)=x
∴f（x）=log₂（1-2^x）∈M
设y=log₂（1-2^x）
由0＜1-2^x＜1解得：x＜0，y＜0
由y=log₂（1-2^x）得2^y=1-2^x，反函数为y=log_a（1-a^x），（x＜0）
（2）∵f(x)=

ax

x+b

∈M，
∴f₂（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立．

a• ax x+b

ax x+b +b

=x，
解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0
由f（x）＜1，得到

ax

x-a

-1＜0，

(a-1)x+a

x-a

＜0，由a＜0，

x- a 1-a

x-a

＞00＞

a

1-a

＞a，
故x的范围为：x＞

a

1-a

或  x＜a

点评：本题以函数为载体，考查新定义，根据是对新定义的理解，同时考查学生等价转化问题的能力．