Question

9．在△ABC中，D是BC边上一点，BD=3DC，若P是AD边上一动点，且AD=2，则$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）$的最小值为-4．

Answer 1

分析 通过向量的数量积以及向量的表示，化简数量积，利用BD=3DC，令$|\overrightarrow{PA}|=t$，转化数量积为t的二次函数，然后求解最小值．

解答 解：由于$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{PA}•[\overrightarrow{PB}+3（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}）]=\overrightarrow{PA}•[（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{DC}）+3\overrightarrow{PD}]$，
因为BD=3DC，所以$\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{PD}$，
故$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）=4\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$，
令$|\overrightarrow{PA}|=t$，
则$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）$=4•t•（2-t）•cos180°=4[（t-1）²-1]≥-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查平面向量的数量积的应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．