Question

已知函数．
（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（2）若b∈[-2，2]时，函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x₀，y₀） 处的切线相同，
由于f′（x）=x+2a，g′（x）=，
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即
解得 x₀=a或x₀=-3a （舍去），
将x₀=a代入上述方程组中的第一个方程，得b=-3a²lna，
∴b关于a的函数关系式为：b=-3a²lna（a＞0）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x
=．
∵h（x）在（0，4）上恒为单调增函数，
所以恒成立，在b∈[-2，2]时恒成立，
即对x∈（0，4）恒成立．
∴3a²≥-x²+2x=-（x-1）²+1对x∈（0，4）恒成立，
∴3a²≥1，
∴或．
综上，a的取值范围是：或．
分析：（1）设公共点（x₀，y₀），根据题意得到f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b关于a的函数关系式；
（2）根据已知h（x）为单调增函数，则h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，再转化为对x∈（0，4）恒成立，解出a的取值范围即可．
点评：本题主要考查函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，是一道关于函数的综合题，属于中档题．