如图.已知椭圆的左.右焦点分别为短轴两的端点为A.B.且四边形是边长为2的正方形. (Ⅰ)求椭圆的方程, (Ⅱ)若C.D分别是椭圆长轴的左.右端点.动点M满足MD连结交椭圆于点证明:为定值; 的条件下.试问轴上是否存在异于点的定点.使得以为直径的圆恒过直线的交点.若存在.求出点的坐标,若不存在,说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(本小题满分14分)

如图，已知椭圆的左、右焦点分别为短轴两的端点为A、B，且四边形是边长为2的正方形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD连结交椭圆于点证明:为定值;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在,说明理由.

(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）由题意,得.

………………………………2分

所求椭圆的方程是. …………………………4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，C（-2，0），D（2，0）. ……………………5分

由题意可设CM:

……………………………………6分

由消去y并整理得 …………7分

………………………………8分

即为定值. ………………………………………………………10分

(Ⅲ)设

若以MP为直径的圆恒过DP、MQ的交点，则MQ

………………………………………………………12分

由(Ⅱ)可知

即 ………………………………………………………13分

存在使得以MP为直径的圆恒过直线的交点. ………………14分

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