Question

设数列{a_n}满足：a₁=5，a_n+1+4a_n=5，（n∈N^*）
（I）是否存在实数t，使{a_n+t}是等比数列？
（Ⅱ）设数列b_n=|a_n|，求{b_n}的前2013项和S₂₀₁₃．

Answer 1

（I）由a_n+1+4a_n=5，得a_n+1=-4a_n+5，
令a_n+1+t=-4（a_n+t），…（2分）
得a_n+1=-4a_n-5t，则-5t=5，∴t=-1…（4分）
∴a_n+1-1=-4（a_n-1），
又a₁=5，∴a₁-1=4，∴{a_n-1}是首项为4，公比为-4的等比数列，
∴存在这样的实数t=-1，使{a_n+t}是等比数列．…（6分）
（II）由（I）得a_n-1=4•（-4）^n-1，∴a_n=1+4•（-4）^n-1．…（7分）
∴b_n=|a_n|=

1+4n，n为奇数 4n-1，n为偶数

…（8分）
∴S₂₀₁₃=b₁+b₂+…+b_n=（1+4）+（4²-1）+…+（1+4²⁰¹³）=4+4²+…+4²⁰¹³+1=

4-42014

1-4

+1=

42014-1

3

…（12分）