Question

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g(x)=

2x

x+1

．
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（2）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的图象和性质，先将函数f（x）的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0，2]的位置关系，可求出函数y=f（x）的最小值m（a）；
（2）根据函数的单调性求出函数f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后使f（x）_min＞g（x）_max，建立关系式，解之即可求出a的范围．

解答：解：（1）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
得m(a)=

4-a2  ， 1≤a＜2 8-4a ，   a≥2

（2）g(x)=(x+1)+

1

x+1

-2，当x∈[0，2]时，x+1∈[1，3]，
又g（x）在区间[0，2]上单调递增，故g(x)∈[0，

4

3

]．
由题设，得f（x）_min＞g（x）_max，故

1≤a＜2 4-a2＞ 4 3

或

a≥2 8-4a＞ 4 3

解得1≤a＜

2 6

3

为所求的范围．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，函数恒成立问题，以及函数单调性的判定，属于中档题．