Question

15．设f（x）=2x²+bx+c，已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[1，3]，不等式f（x）-tx≤-8有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，列出方程求出b、c的值即可；
（2）利用分离常数法得出关于t的不等式，根据题意求出t的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴2x²+bx+c＜0的解集是（0，5），
∴0和5是方程2x²+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系知，-$\frac{b}{2}$=5，$\frac{c}{2}$=0，
解得b=-10，c=0，
∴f（x）=2x²-10x；…（5分）
（2）不等式f（x）-tx≤-8 在[1，3]有解，
等价于2x²-10x+8≤tx在[1，3]有解，
等价于t≥2x+$\frac{8}{x}$-10有解，
只要t≥${（2x+\frac{8}{x}-10）}_{min}$即可，
不妨设g（x）=2x+$\frac{8}{x}$，x∈[1，3]，
则g（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；
∴g（x）≥g（2）=8，
∴t≥-2．   …（13分）

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目