Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，

2

是函数f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一个零点．
（1）证明{a_n+1-a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n；
（3）是否存在指数函数g（x），使得对任意的正整数n，有

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

成立？若存在，求出满足条件一个g（x）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

2

是函数f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一个零点，得2a_n-1-3a_n+a_n+1=0，即a_n+1-a_n^=2（a_n-a_n-1）
从而得到{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列，由累差法易得a_n=2ⁿ
（2）由s_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）2^n-1+n•2ⁿ得2s_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
 再由错位相减法易得S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；
（3）存在，例如g（x）=2^x，用裂项法求和易得证或用放缩法证明．在用放缩法时主要利用2ⁿ+1＞3，2ⁿ⁺¹+1＞5进行放缩．

解答：解：（1）∵

2

是函数f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一个零点，
∴2a_n-1-3a_n+a_n+1=0，即a_n+1-a_n^=2（a_n-a_n-1）
∴{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列，即a_n+1-a_n^=（a₂-a_1）2^n-1=2ⁿ，由累差法易得a_n=2ⁿ
（2）s_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）2^n-1+n•2ⁿ
2s_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
错位相减得，-s_n=1•2+•2²+•2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；
（3）存在，例如g（x）=2^x，用裂项法求和易得证．
或用放缩法证明：
设g（k）=a^k，a＞0且a≠1，

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

=

a

3•5

+

a2

5•9

+

a3

9•17

+…

an

(2n+1)•(2n+1+1)

＜

a

3•5

+

a2

3•5

+

a3

3•5

+…

an

3•5

=

a(1-an)

15(1-a)

当a=

1

2

时，显然有 

1-( 1 2 )n

15

＜

1

15

＜

1

3

，故存在这样的指数函数

点评：此题考查等比数列定义，及数列求和中错位相减法运用．同时还考查了用放缩法来解决问题．