Question

【题目】设函数f(x)=ax∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;

(3)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）2

【解析】分析： （1）先求导=a再根据已知得到解之即得a,b的值即得f(x)的解析式.(2)先证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,再求其对称中心.(3) 在曲线y=f(x)上任取一再求其切线方程y，最后求围成的三角形的面积为定值, 并求出此定值.

详解：(1)=a

于解得

因为a,b∈Z,所.

所以f(x)=x

(2)已知函数y1=x,y2,

所以函数g(x)=x,其图象是以原点为中心的中心对称图形,

而由f(x)=x-1,函数g(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度即得到函数f(x)的图象.

故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.

(3)在曲线y=f(x)上任取一

由=1,过此点的切线方程为y

令x=1,得yx=1的交点

令x=y,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).

由于直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),

从而它们所围成的三角形的面积为

所以所围成的三角形的面积为定值2.