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    某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：
    足球 跳水 柔道
    10 6 4
    （Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
    （Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
    （Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
    分析：（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A．由组合数公式能求出他们恰好观看的是同一场比赛的概率．
    （Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B．先求出B的概率，再由对立事件的概率求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
    解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． 由组合数公式求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
    （Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
    1
    3
     所以P（ξ=0）=
    C
    0
    4
    (
    1
    3
    )    0    (
    4
    3
    )    4    =
    16
    81
    ； P（ξ=1）=
    c
    1
    4
    (
    1
    3
    )(
    2
    3
    )3=
    32
    81
    ；p（ξ=2）=
    c
    2
    4
    (
    1
    3
    )    2    (
    2
    3
    )  2=
    24
    81
    =
    8
    27
    ； p（ξ=3）=
    c
    3
    4
    (
    1
    3
    )    3    (
    2
    3
    ) =
    8
    81
    ；p（ξ=4）=
    c
    4
    4
    (
    1
    3
    )4(
    2
    3
    )    0    =
    1
    81
    ．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
    解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
    1
    3
    ．随机变量ξ～B（4，
    1
    3
    ）．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
    解答：（本小题满分14分）
    解：（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A． （1分）
    则P(A)=
    C
    2
    10
    +
    C
    2
    6
    +
    C
    2
    4
    C
    2
    20
    =
    33
    95
    ．（3分）
    答：从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是
    33
    95
    ．
    （Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B． （4分）
    则P(B)=
    C
    3
    10
    C
    3
    20
    =
    2
    19
    ，所以P(
    .
    B
    ) =1-P(B)=
    17
    19
    ．（7分）
    答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是
    17
    19
    ．
    解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． （4分）
    则P（C）=
    C
    1
    10
    •
    C
    2
    10
    +
    C
    2
    10
    •
    C
    1
    10
    +
    C
    3
    10
    C
    3
    20
    =
    17
    19
    ．（7分）
    答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是
    17
    19

    （Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．（8分）
    由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
    1
    3
     （9分）
    所以P（ξ=0）=
    C
    0
    4
    (
    1
    3
    )    0    (
    4
    3
    )    4    =
    16
    81
    ； P（ξ=1）=
    c
    1
    4
    (
    1
    3
    )(
    2
    3
    )3=
    32
    81
    ；
    p（ξ=2）=
    c
    2
    4
    (
    1
    3
    )    2    (
    2
    3
    )  2=
    24
    81
    =
    8
    27
    ； p（ξ=3）=
    c
    3
    4
    (
    1
    3
    )    3    (
    2
    3
    ) =
    8
    81
    ；
    p（ξ=4）=
    c
    4
    4
    (
    1
    3
    )4(
    2
    3
    )    0    =
    1
    81
    ．（11分）
    随机变量ξ的分布列为：
    ξ 0 1 2 3 4
    P
    16
    81
    32
    81
    8
    27
    8
    81
    1
    81
    （12分）
    所以Eξ=0×
    16
    81
    +1×
    32
    81
    +2×
    24
    81
    +3×
    8
    81
    +    4×
    1
    81
    =
    4
    3
    ．（14分）
    解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
    1
    3
    ．（8分）
    则随机变量ξ～B（4，
    1
    3
    ）．（10分）
    所以随机变量ξ的分布列为：
    ξ 0 1 2 3 4
    P
    16
    81
    32
    81
    8
    27
    8
    81
    1
    81
    （12分）
    所以Eξ=np=4×
    1
    3
    =
    4
    3
    ．（14分）
    点评：本题考查离散型随机变量的数学期和方差，解题时要认真审题，注意组合数公式的合理运用．
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    (1)从观看比赛的学生中任选2名，求他们观看的恰好是同一场比赛的概率；

    (2)从观看比赛的学生中，任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；

    (3)如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛(假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记观看足球比赛的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （09年海淀区期中理）（14分） 

    某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：

    足球

    跳水

    柔道

    10

    6

    4

       （Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2名，求他们观看的恰好是同一场比赛的概率；

       （Ⅱ）从观看比赛的学生中，任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；

       （Ⅲ） 如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：
    足球跳水柔道
    1064
    （Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
    （Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
    （Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

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    某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：
    足球跳水柔道
    1064
    （Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
    （Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
    （Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

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