Question

15、如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证CD⊥平面A₁ABB₁，可先证平面ABC⊥平面A₁ABB₁，CD⊥AB，面ABC∩面A₁ABB₁=AB，满足根据面面垂直的性质；
（Ⅱ）欲证AC₁∥平面CDB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC₁与平面CDB₁内一直线平行，连接BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连接DE．根据中位线可知DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，满足定理所需条件．

解答：（Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面A₁ABB₁．
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，面ABC∩面A₁ABB₁=AB
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）证明：连接BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连接DE．
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁．∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．