Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x）．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥EF，垂足H，连结BH、GH，根据面面垂直的性质证出DH⊥平面EBCF，从而EG⊥DH，根据题中数据结合EF∥BC，∠ABC=90°，证出四边形BGHE为正方形，得EG⊥BH，可得EG⊥平面DBH，从而得出EG⊥BD；
（2）根据面面垂直的性质证出AE⊥面EBCF，可得AE∥DH，从而得四边形AEHD是矩形，得DH=AE=x等于以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高．结合S△BCF=

1

2

BC•BE=8-2x，算出三棱锥D-BCF的体积为V=f（x）=

1

3

S△BFC•AE=

1

3

( 8-2x )x，在x=2时，f（x）有最大值为

8

3

；
（3）由（2）知当f（x）取得最大值时AE=2，故BE=2，结合DH∥AE得∠BDH是异面直线AE与BD所成的角．在Rt△BEH中，算出BH=2

2

，△BDH中，得到BD=2

3

，最后利用直角三角形中三角函数的定义，算出cos∠BDH=

DH

BD

=

3

3

，从而得到异面直线AE与BD所成的角的余弦值．

解答：解：（1）作DH⊥EF，垂足H，连结BH、GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH?平面EBCF，
∴DH⊥平面EBCF，结合EG?平面EBCF，得EG⊥DH，
∵EH=AD=

1

2

BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．
∴四边形BGHE为正方形，得EG⊥BH．
又∵BH、DH?平面DBH，且BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH．
∵BD?平面DBH，∴EG⊥BD．
（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，
∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，
故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高DH=AE=x，
又∵S△BCF=

1

2

BC•BE=

1

2

×4×( 4-x )=8-2x．
∴三棱锥D-BCF的体积为V=f（x）=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

S△BFC•AE
=

1

3

( 8-2x )x=-

2

3

x2+

8

3

x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

．
∴当x=2时，f（x）有最大值为

8

3

．
（3）由（2）知当f（x）取得最大值时AE=2，故BE=2，
结合DH∥AE，可得∠BDH是异面直线AE与BD所成的角．
在Rt△BEH中，BH=

BE2+EH2

=

4+AD2

=2

2

，
∵DH⊥平面EBCF，BH?平面EBCF，∴DH⊥BH
在Rt△BDH中，BD=

BH2+DH2

=

8+AE2

=2

3

，
∴cos∠BDH=

DH

BD

=

2

2 3

=

3

3

．
∴异面直线AE与BD所成的角的余弦值为

3

3

．

点评：本题给出平面折叠问题，求证直线与直线垂直，求体积的最大值并求此时异面直线所成角大小．着重考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角大小的求法等知识，属于中档题．