Question

计算由曲线y²=2x，直线y=x-4所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：曲线y²=2x与直线y=x-4方程联解，得交点A（2，-2）、B（8，4）．因此，所求图形面积为函数y=2

2x

在[0，2]上的积分值，与函数y=

2x

-（x-4）在[2，8]上的积分值之和．利用公式分别算出这两个积分的值，相加即得所求图形的面积．

解答：解：由方程组

y2=2x y=x-4

，解之得

x=2 y=-2

或

x=8 y=4

∴曲线y²=2x与直线y=x-4交于点A（2，-2）和B（8，4）．
因此，曲线y²=2x，直线y=x-4所围成的图形的面积为
S=

∫

2 0

2

2x

dx+

∫

8 2

(

2x

-x+4)dx
∵

∫

2 0

2

2x

dx=（2

2

•

2

3

x

3

2

）

|

2 0

=

16

3

，

∫

8 2

(

2x

-x+4)dx=（

2

•

2

3

x

3

2

-

1

2

x²+4x）

|

8 2

=（

2

•

2

3

•8

3

2

-

1

2

×8²+4×8）-（

2

•

2

3

•2

3

2

-

1

2

×2²+4×2）=

38

3

∴所求图形面积为S=

∫

2 0

2

2x

dx+

∫

8 2

(

2x

-x+4)dx=

16

3

+

38

3

=18

点评：本题给出两条曲线，求它们围成图形的面积，着重考查了定积分计算公式和微积分基本定理等知识，属于中档题．