Question

19．设a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函数，则a的取值范围（　　）

• A． a≥2+$\sqrt{3}$
• B． 0＜a＜2-$\sqrt{3}$
• C． a≥2+$\sqrt{3}$或0＜a＜1
• D． a≥2+$\sqrt{3}$或0＜a＜2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1开口向上，对称轴大于1，且g（1）＜0，可得y=|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函数，结合复合函数的单调性得到关于a的不等式组求解．

解答 解：∵a＞0，∴a+$\frac{1}{a}}）x+1}$≥2，则函数y=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1的对称轴为x=$\frac{a+\frac{1}{a}}{2}≥1$，
令g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1，∵g（1）=2-（a+$\frac{1}{a}$）＜0，
∴y=|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函数，
∴要使函数f（x）=log_a|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a+\frac{1}{a}}{2}≥2}\end{array}\right.$，解得a$≥2+\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．