Question

（2011•黑龙江一模）改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2010年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2001年编号为1，2002年编号为2，…，2010年编号为10．数据如下：

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人数y	3	5	8	11	13	14	17	22	30	31

（1）从这10年中随机抽取两年，求考入大学人数至少有1年多于15人的概率；
（2）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程y=

?

b

x+

?

a

，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

Answer 1

分析：（1）设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A，这10年中有6年，考入大学人数少于15人，从而求得考入大学人数至少有1年多于15人的概率．
（2）由已知数据得

.

x

=3，

.

y

=8，再求出

n

i=1

xiyi 和

n

i=1

xi2，可得

?

b

 和

?

a

的值，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程y=

?

b

x+

?

a

，求出第8年的估计值再由第8年的真实值，
求得第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

解答：解：（1）设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A，这10年中有6年，考入大学人数少于15人，
故 P(A)=1-

C 2 6

C 2 10

=

2

3

．…（4分）
（2）由已知数据得

.

x

=3，

.

y

=8，

n

i=1

xiyi=3+10+24+44+65=146，

n

i=1

xi2=1+4+9+16+25=55，…（7分）
则

?

b

=

146-5×3×8

55-5×9

=2.6，

?

a

=8-2.6×3=0.2，…（9分）
则回归方程为y=2.6x+0.2，…（10分）
则第8年的估计值为 21人，第8年的真实值为22，
则第8年的估计值和真实值之间的差的绝对值为22-21=1．…（12分）

点评：本题主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，求回归直线的方程的方法，属于基础题．