Question

【题目】已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，
（1）求 的最小值；
（2）求证：x2+y2+z2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x、y、x是正实数，且x+2y+3z=1，

∴ =（ ）（x+2y+3z）

=6+ + + + + +

=6+（ + ）+（ + ）+（ + ）

≥6+2 +2 +2

当且仅当 = 且 = 且 = 时取等号；

（2）解：由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2

≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），

∴x2+y2+z2≥ ，当且仅当x=2y=3z即x= ，y= ，z= 时取等号．

故x2+y2+z2≥ ．

【解析】（1）由题意整体代入可得 =6+（ + ）+（ + ）+（ + ），由基本不等式可得；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），由不等式的性质可得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式的相关知识，掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．