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(2013•广州二模)在等差数列{an}中,a1+a2=5,a3=7,记数列{
1anan+1
}的前n项和为Sn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数m、n,且1<m<n,使得S1、SntSn成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m,n值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意,得到关于首项与公差的方程组,解之即可求得数列{an}的通项公式;
(2)利用裂项法可求得Sn=
n
3n+1
,假设存在正整数m、n,且1<m<n,使得S1、Sm、Sn成等比数列,可求得n=
4m2
-3m2+6m+1
,从而得1<m<1+
2
3
3
<3,由m∈N*,可求得m=2,继而可求得n.
解答:解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为
a1+a2=-5
a3=7
,即
2a1+d=5
a1+2d=7
…2
解得
a1=1
d=3
…3
∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2
∴数列{an}的通项公式为an=3n-2(n∈N*)…4
(2)∵
1
anan+1
=
1
(3n-2)(3n+1)
=
1
3
1
3n-2
-
1
3n+1
)…5
∴数列{
1
anan+1
}的前n项和
Sn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1

=
1
3
(1-
1
4
)+
1
3
1
4
-
1
7
)+
1
3
1
7
-
1
10
)+…+
1
3
1
3n-5
-
1
3n-2
)+
1
3
1
3n-2
-
1
3n+1

=
1
3
(1-
1
3n+1
)=
n
3n+1
…7
假设存在正整数m、n,且1<m<n,使得S1、Sm、Sn成等比数列,
Sm2=S1•Sn…8
(
m
3m+1
)
2
=
1
4
×
n
3n+1
…9
∴n=
4m2
-3m2+6m+1

因为n>0,所以-3m2+6m+1>0,即3m2-6m-1<0,
因为m>1,所以1<m<1+
2
3
3
<3,
因为m∈N*,所以m=2…12
∴存在满意的正整数m=2,n=16,且只有一组解,即数m=2,n=16.
点评:本题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,属于难题.
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n
n+1
a1+a2+…+an
3
2

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