Question

15．已知函数f（x）=10（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）cos$\frac{x}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周朋；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式：
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x₀，使得g（x₀）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式可得：f（x）=10$sin（x+\frac{π}{6}）$+5，即可得出函数f（x）的最小正周朋T；
（2）（i）利用三角函数的平移变换法则可得：g（x）=10sinx+5-a，当sinx=1时，函数g（x）取得最大值10+5-a=2，解得a．
（ii）由g（x）=10sinx-8＞0，解得sinx＞$\frac{4}{5}$．解得2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$＜x＜2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$，由于$\frac{π}{4}＜$arcsin$\frac{4}{5}$$＜\frac{π}{3}$，可得$\frac{π}{2}$＜2arcsin$\frac{4}{5}$＜$\frac{2π}{3}$，可知对于一个确定的整式k，都有2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$-（2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$）=π-2arcsin$\frac{4}{5}$∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$.$\frac{π}{3}$＞1，即可证明．

解答 （1）解：f（x）=5$\sqrt{3}$sinx+5（1+cosx）
=10$sin（x+\frac{π}{6}）$+5，
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；
（2）（i）解：将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，
则g（x）=10sin$（x+\frac{π}{6}-\frac{π}{6}）$+5-a=10sinx+5-a，
当sinx=1时，函数g（x）取得最大值10+5-a=2，解得a=13．
∴g（x）=10sinx-8．
（ii）证明：由g（x）=10sinx-8＞0，解得sinx＞$\frac{4}{5}$．
解得2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$＜x＜2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{π}{4}＜$arcsin$\frac{4}{5}$$＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{2}$＜2arcsin$\frac{4}{5}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴对于一个确定的整式k，都有2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$-（2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$）=π-2arcsin$\frac{4}{5}$∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
∵$\frac{π}{3}$＞1，
∴存在无穷多个互不相同的正整数x₀∈（2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$，2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$），
使得g（x₀）＞0．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、平移变换，考查了数形结合能力、推理能力与计算能力，属于中档题．