Question

5．已知锐角α，β满足条件cos2α-cos2β=cos2（α-β）-$\frac{3}{2}$，求α-β的值．

Answer 1

分析 把等式左边利用三角函数的和差化积，右边利用倍角公式降幂，然后通过配方转化为方程组求得$α+β=\frac{π}{2}$，进一步得到$sin（α-β）=\frac{1}{2}$，最后结合角的范围得答案．

解答 解：由cos2α-cos2β=cos2（α-β）-$\frac{3}{2}$，得
$-2sin（α+β）sin（α-β）=1-2si{n}^{2}（α-β）-\frac{3}{2}$．
即4sin²（α-β）-4sin（α-β）sin（α+β）+1=0．
∴[2sin（α-β）-sin（α+β）]²+cos²（α+β）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{cos（α+β）=0}\\{sin（α+β）=2sin（α-β）}\end{array}\right.$．
∵$0＜α＜\frac{π}{2}，0＜β＜\frac{π}{2}$，∴0＜α+β＜π．
则$α+β=\frac{π}{2}$．
∴$sin（α-β）=\frac{1}{2}$，
又$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，则$α-β=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查三角函数的和差化积公式，题目涉及由一个方程求两个未知量的问题，可采用通过配方，利用平方数性质转化为方程组求解，灵活性强，有难度．