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(2013•凉山州二模)在直角坐标平面内,点A(x,y)实施变换f后,对应点为A'(y,x),给出以下命题:
①圆x2+y2=r2(r≠0)上任意一点实施变换f后,对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2
②若直线y=kx+b上海一点实施变换f后,对应点的轨迹方程仍是y=kx+b,则k=-1;
③椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
每一点,实施变换f后,对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆;
④曲线C;y=1nx-x(x>0)上每一点实施变换f后,对应点轨迹足曲线C',M是曲线C上任意一点,N是曲线C'上任意一点,则|MN|的最小值为
2
(1+ln2)

以上正确命题的序号是
①③④
①③④
 (写出全部正确命题的序号)
分析:题目给出的点A(x,y)实施变换f后,对应点为A'(y,x),对应在曲线上是指的曲线关于直线y=x的对称曲线,利用求曲线关于对称曲线的方程的步骤,求出四个选项中给出的曲线关于y=x的对称曲线的方程,然后对命题加以判断,特别是对命题④的判断,需要构造辅助函数,说明曲线恒在直线y=x的下方,然后求出曲线y=1nx-x(x>0)上的点到直线的距离的最小值,进一步得到两对称曲线上的点的距离的最小值再进行判断.
解答:解:由题意点A(x,y)实施变换f后,对应点为A'(y,x),对应曲线来说,就是求曲线关于直线y=x的对称曲线.
对于①,因为圆x2+y2=r2(r≠0)的圆心在直线y=x上,所以圆x2+y2=r2(r≠0)上任意一点实施变换f后,对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2.所以①正确;
对于②,直线y=kx+b关于直线y=x的对称曲线方程为y=
1
k
x-
b
k
,而直线y=kx+b上每一点实施变换f后,对应点的轨迹方程仍是y=kx+b,所以
k=
1
k
-
b
k
=b
,解得
k=1
b=0
,或
k=-1
b∈R
.所以②不正确;
对于③,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上每一点,实施变换f后,对应点的轨迹为
y2
a2
+
x2
b2
=1
,所以轨迹仍是离心率不变的椭圆.所有③正确;
对于④,令g(x)=x-(lnx-x)=2x-lnx(x>0).
g(x)=2-
1
x
=
2x-1
x

当x∈(0,
1
2
)时,g(x)<0,g(x)为减函数,
当x∈(
1
2
,+∞)时,g(x)>0,g(x)为增函数.
所以g(x)在(0,+∞)上有极小值,也是最小值.
最小值为g(
1
2
)=1+ln2
.所以曲线y=1nx-x(x>0)上的点到直线y=x的距离的最小值为
2
2
(1+ln2)

由对称性可知,曲线y=1nx-x(x>0)上的点与其关于直线y=x的对称曲线上的点的最小值为
2
2
(1+ln2)

即为
2
(1+ln2)
.所以④正确.
所以正确命题的序号是①③④.
故答案为①③④.
点评:本题考查了命题的真假的判断,是新定义题,考查了数学转化思想方法,考查了利用导数求函数的最值,解答的关键是理解题目意思,把问题转化为曲线关于直线y=x的对称曲线的关系问题,是中档题.
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