Question

A、B、C为锐角三角形三内角，求证：tanAtanBtanC≥3

3

．

Answer 1

分析：首先已知因为A、B、C为锐角三角形三内角，故可以想到三个角和为180度，即其中两个角可以被另外2个表示出来，A+B=π-C．然后两边取正切，化简求解既可．

解答：解：因为A、B、C为锐角三角形三内角，故A+B=π-C，
所以有tan（A+B）=tan（π-C）     即：

(tanA+tanB)

(1-tanAtanB)

=

(tanπ-tanC)

(1+tanπtanC)

整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=（tanAtanBtanC）³=（tanA+tanB+tanC）³≥27tanAtanBtanC
即：（tanAtanBtanC）²≥27    tanAtanBtanC≥3

3

故得证．

点评：此题主要考查三角函数恒等式的证明问题，其中涉及到正切函数和角公式的变换问题，有一定的计算量，属于中档题目．