Question

（2013•南通三模）已知实数a₁，a₂，a₃，a₄满足a₁+a₂+a₃=0，a₁a₄²+a₂a₄-a₂=0，且a₁＞a₂＞a₃，则a₄的取值范围是

(

-1- 5

2

，

-1+ 5

2

)

．

Answer 1

分析：先根据题意a₁+a₂+a₃=0得a₁≥0 a₃≤0 a₁≥|a₂|-a₃≥|a₂|．对于方程a₁a₄²+a₂a₄-a₂=0，将a₄看成未知数，解二次方程得a₄=-

1

2

•

a2

a1

±

1

2

•

( a2 a1 )2+4• a2 a1

，设

a2

a1

=x，由a₁≥|a₂|知-1≤x≤1，利用a₄=-x±

x2+4x

的单调性结合x的取值范围，即可得出a₄的取值范围．

解答：解：a₁+a₂+a₃=0得a₁≥0，a₃≤0，a₁≥|a₂|-a₃≥|a₂|．
a₄=

-a2± a 2 2 +4a1a2

2a1

=-

1

2

•

a2

a1

±

1

2

•

( a2 a1 )2+4• a2 a1

，设

a2

a1

=x，由a₁≥|a₂|．
知-1≤x≤1，a₄=-x±

x2+4x

，由x²+4x≥0，得0≤x≤1，
当a₄=-

1

2

x+

1

2

x2+4x

时，有当x=1，a₄取最大，最大值a₄=-

1

2

+

5

2

；
当a₄=-

1

2

x-

1

2

x2+4x

时，有当x=1，a₄取最小，最小值a₄=-

1

2

-

5

2

；
则a₄的取值范围是 (

-1- 5

2

，

-1+ 5

2

)．
故答案为：(

-1- 5

2

，

-1+ 5

2

)．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于验证题．