Question

已知数列{a_n}为等差数列，其中a₁=1，a₇=13
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和，当不等式λT_n＜n+8（n∈N^*）恒成立时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a_n；
（2）由（1）化简b_n=

1

an•an+1

，利用裂项相消法求出T_n，代入不等式λT_n＜n+8分离出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N^*恒成立求出实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，a₇=13，∴a₁+6d=13，解得d=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
（2）由（1）得，b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

要使不等式λT_n＜n+8（n∈N^*）恒成立，
只需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立即可
∵2n+

8

n

≥8，当且仅当2n=

8

n

时，即n=2取等号，
∴λ＜25

点评：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．