Question

已知函数f（x）=

4x

2x2+m

在（

1

2

，f（

1

2

））处的切线方程为8x-9y+t=0（m∈N，t∈R）
（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+

8

9

在[

1

2

，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f（x）的导数，由题意可得，f（

1

2

）=

4

2m+1

，f′（

1

2

）=

8

9

，列出m，t的方程组，解方程即可；
（2）设h（x）=ax+

8

9

-

4x

1+2x2

，x≥

1

2

．求出导数，对x讨论，若

1

2

≤x≤

2

2

，设g（x）=a-

4-8x2

(1+2x2)2

，求出g（x）的导数，判断单调性，解不等式，对a讨论，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=

4m-8x2

(2x2+m)2

，
由题意可得，f（

1

2

）=

4

2m+1

，f′（

1

2

）=

8

9

，
即

4+t

9

=

4

2m+1

，且

4m-2

( 1 2 +m)2

=

8

9

，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+

8

9

-

4x

1+2x2

，x≥

1

2

．
h（

1

2

）=

a

2

-

4

9

≥0，即a≥

8

9

，
h′（x）=a-

4-8x2

(1+2x2)2

，当a≥

8

9

时，若x＞

2

2

，h′（x）＞0，①
若

1

2

≤x≤

2

2

，设g（x）=a-

4-8x2

(1+2x2)2

，
g′（x）=-

16x(2x2-3)

(1+2x2)3

＜0，g（x）在[

1

2

，

2

2

]上递减，且g（

1

2

）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[

1

2

，

2

2

]上恒成立．②
由①②可得，a≥

8

9

时，h′（x）＞0，h（x）在[

1

2

，+∞）上递增，h（x）≥h（

1

2

）=

a

2

-

4

9

≥0，
则当a≥

8

9

时，不等式f（x）≤ax+

8

9

在[

1

2

，+∞）恒成立；
当a＜

8

9

时，h（

1

2

）＜0，不合题意．
综上可得a≥

8

9

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．