Question

8．如图，正方体的棱长为a，P、Q分别为A₁D、B₁D₁的中点
（1）求证：PQ∥平面AA₁B₁B
（2）求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PQ∥平面AA₁B₁B．
（2）由已知条件利用向量法能求出PQ的长．

解答 证明：（1）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），Q（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$，0），
$\overrightarrow{PQ}$=（0，$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
平面AA₁B₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{n}$=0，PQ?平面AA₁B₁B，
∴PQ∥平面AA₁B₁B．
解：（2）PQ的长|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（\frac{a}{2}）^{2}+（-\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力、空间想象能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．