精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
在平面直角坐标系xOy 中,设A (1,2 ),B ( 4,5 ),
OP
=m
OA
+
AB
(m∈R).
(1)求m的值,使得点P在函数y=x2+x-3的图象上;
(2)以O,A,B,P为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,求出相应的m的值;若不能,请说明理由.
分析:(1)根据向量的加减法则与坐标运算法则,结合题中数据算出P点坐标为(m+3,2m+3).将点P坐标代入函数y=x2+x-3,得到关于m的二次方程,解之即可得到m的值;
(2)根据平行四边形的判定与向量加法的平行四边形法则,分
OP
=
AB
OP
=
BA
OP
=
OA
+
OB
三种情况加以讨论,分别建立关于m的等式并解出m的值,可得答案.
解答:解:∵A (1,2 ),B ( 4,5 ),
AB
=(3,3),
由此可得
OP
=m
OA
+
AB
=m(1,2 )+(3,3)=(m+3,2m+3),
设P(x,y),可得
x=m+3
y=2m+3

即P(m+3,2m+3).
(1)若点P在函数y=x2+x-3的图象上,
则2m+3=(m+3)2+(m+3)-3,
化简得m2+5m+6=0,
解得m=-2、m=-3.
因此存在m=-2或-3,使得点P在函数y=x2+x-3的图象上;
(2)若以O、A、B、P为顶点的四边形构成平行四边形,
①四边形OABP为平行四边形,则
OP
=
AB

即(m+3,2m+3)=(3,3),
解得m=0;
②四边形OBAP为平行四边形,则
OP
=
BA

即(m+3,2m+3)=(-3,-3),找不出符合题意的m值;
③四边形OAPB为平行四边形,则
OP
=
OA
+
OB

即(m+3,2m+3)=(1,2 )+( 4,5 )=(5,7),
解得m=2.
综上所述,可得存在m=0或2,使得以O、A、B、P为顶点的四边形构成平行四边形.
点评:本题给出A、B两点坐标与向量式
OP
=m
OA
+
AB
,讨论以O、P、A、B为顶点的四边形能否为平行四边形.着重考查了平面向量的加减法则、向量的坐标运算法则与平行四边形的判定与性质等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点),设线段FM交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为
2
3
,点M的横坐标为
9
2

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线PA的斜率为k1,直线MA的斜率为k2,求k1•k2的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ为参数),直线l经过点P(1,1),倾斜角α=
π
6

(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆圆C相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M,N两点,点P为圆C上任意一点,则
PM
PN
的最大值为
4+4
2
4+4
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,已知点M(0,3),直线l:x+y-4=0,点N(x,y)是圆C:x2+y2-2x-1=0上的动点,MA⊥l,NB⊥l,垂足分别为A、B,则线段AB的最大值为
3
2
3
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点,则
MO
MF
的最大值为
2
3
3
2
3
3

查看答案和解析>>

同步练习册答案