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(2006•东城区一模)设A,B分别是直线y=
2
5
5
x
y=-
2
5
5
x
上的两个动点,并且|
AB
|=
20
,动点P满足
OP
=
OA
+
OB
.记动点P的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)M,N是曲线C上的任意两点,且直线MN不与y轴垂直,线段MN的中垂线l交y轴于点E(0,y0),求y0的取值范围.
分析:( I)设P(x,y),由于A、B分别为直线y=
2
5
5
x
y=-
2
5
5
x
上的点,故可设A(x1
2
5
5
x1)
B(x2,-
2
5
5
x2)
.再利用向量的运算和向量模的计算公式即可得出;
(II)把直线MN的方程与椭圆方程联立可得△>0及其根与系数的关系,再利用线段的垂直平分线的性质和二次函数的单调性即可得出.
解答:解:( I)设P(x,y),因为A、B分别为直线y=
2
5
5
x
y=-
2
5
5
x
上的点,
故可设A(x1
2
5
5
x1)
B(x2,-
2
5
5
x2)

OP
=
OA
+
OB

x=x1+x2
y=
2
5
5
(x1-x2)

x1+x2=x
x1-x2=
5
2
y

|
AB
|=
20

(x1-x2)2+
4
5
(x1+x2)2=20

5
4
y2+
4
5
x2=20

即曲线C的方程为
x2
25
+
y2
16
=1

( II)设直线MN为y=kx+b(k≠0).
x2
25
+
y2
16
=1
y=kx+b.

消去y,得  (25k2+16)x2+50kbx+25(b2-16)=0.(*)
由于M、N是曲线C上的任意两点,
∴△=(50kb)2-4×25(25k2+16)(b2-16)>0.
即25k2b2-(25k2+16)(b2-16)>0.
∴b2<25k2+16.             ①
由(*)式可得
x1+x2
2
=-
25kb
25k2+16
y1+y2
2
=
16b
25k2+16

则直线l为  y-
16b
25k2+16
=-
1
k
(x+
25kb
25k2+16
)

由于E(0,y0) 在l上,
y0=
-9b
25k2+16
.              ②
由②得    
y
2
0
=
81b2
(25k2+16)2
代入①得
y
2
0
81 
25k2+16
81
16

-
9
4
y0
9
4

即y0的取值范围是(-
9
4
9
4
).
点评:熟练掌握直线与椭圆相交问题把直线MN的方程与椭圆方程联立可得△>0及其根与系数的关系、线段的垂直平分线的性质和二次函数的单调性、向量的运算和向量模的计算公式等是解题的关键.
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