Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+（n-2）（n-1）（n∈N^*）
（1）是否存在常数p，q，r，使数列{a_n+pn²+qn+r}是等比数列，若存在求出p，q，r的值；若不存在，说明理由；
（2）设数列{b_n}满足bn=

1

2n+1-an

，证明：b1+b2+…+bn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）假设存在，利用等比的性质建立方程，根据同一性求参数的值，若求出说明存在，否则说明不存在；
（2）由（1）求出数列{a_n}表达式，代入求出数列{b_n}的通项，利用放大法得到bn＜

1

n-1

-

1

n

(n≥2)代入不等式左边化简整理证得结论．

解答：解：（1）设a_n+1+p（n+1）²+q（n+1）+r=2（a_n+pn²+qn+r）
∴a_n+1=2a_n+pn²+（q-2p）n+r-p-q
由a_n+1=2a_n+n²-3n+2∴p=1，q=-1，r=2.4分
∴{a_n+n²-n+2}是以首项为4，公比为2的等比数列．6分
（2）∵a_n+n²-n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹7′
∴bn=

1

2n+1-an

=

1

n2-n+2

＜

1

n2-n

=

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)9分
∴n=1时，b1=

1

2

＜

3

2

10′n≥2时，b1+b2+b3++bn=b1+(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

)=

1

2

+1-

1

n

＜

3

2

综上：b₁+b₂+b₃++b_n＜

3

2

(n∈N*)12分

点评：本题考查等比关系的确定，以及利用放缩法证明与数列有关的不等式，是数列与不等式综合的题目，证明过程中放缩法的技巧要注意体会，在证明不等式时，经常根据题设中的条件恰当进放大或缩小，以达到证明的目的．