Question

（2010•深圳二模）已知数列{a_n}满足：an=

n 2 a n+1 2 + 1 2 ，n为正奇数 2a n 2 + n 2    n为正偶数

．
（Ⅰ）问数列{a_n}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
（Ⅱ）求证：数列{

a2n

2n

}是等差数列，并求数列{a2n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=a2n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，求出a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=8后容易判断出{a_n}既不为等差数列也不为等比数列．
（Ⅱ）（解法一）对任意正整数n，2 ⁿ⁺¹是偶数，得出a2n+1=2a2n+2n，

a2n+1

2n+1

-

a2n

2n

=

1

2

，

a2

2

=

3

2

，所以数列{

a2n

2n

}是首项为

3

2

，公差为

1

2

的等差数列，求出{

a2n

2n

}通项公式后再求出数列{a2n}的通项公式（解法二）因为对任意正整数n，a2n+1=2a2n+2n，得a2n+1-(n+3)2n=2[a2n-(n+2)2n-1]，a21-(1+2)21-1=a2-3=0
所以数列{a2n-(n+2)2n-1}是每项均为0的常数列，即可得出数列{a2n}的通项公式
（Ⅲ） （解法一）设数列{（n+1）qⁿ}的前n项和为T_n，则当n∈N^*，q≠1，q≠0时，T_n（q）=2q+3q²+4q³+…+nq^n-1+（n+1）qⁿ，利用错位相消法求和．（Ⅱ）利用待定系数法得．

解答：解：（Ⅰ）a1=

1

2

a

1+1

2

+

1

2

=

1

2

a1+

1

2

⇒a1=1，a2=2a

2

2

+

2

2

=2a1+1=3，a3=

3

2

a

3+1

2

+

1

2

=

3

2

a2+

1

2

=5，a4=2a

4

2

+

4

2

=2a2+2=8．…（3分）
因为a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a₃-a₂≠a₄-a₃，所以数列{a_n}不是等差数列．
又因为

a2

a1

=3，

a3

a2

=

5

3

，

a2

a1

≠

a3

a2

，所以数列{a_n}也不是等比数列．…（5分）
（Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数n，a2n+1=2a2n+2n，

a2n+1

2n+1

-

a2n

2n

=

1

2

，

a2

2

=

3

2

，
所以数列{

a2n

2n

}是首项为

3

2

，公差为

1

2

的等差数列，…（7分）
从而对?n∈N*，

a2n

2n

=

3

2

+

n-1

2

，a2n=(n+2)2n-1．
所以数列{a2n}的通项公式是a2n=(n+2)2n-1(n∈N*)．…（9分）
（解法二）因为对任意正整数n，a2n+1=2a2n+2n，
得a2n+1-(n+3)2n=2[a2n-(n+2)2n-1]，a21-(1+2)21-1=a2-3=0
所以数列{a2n-(n+2)2n-1}是每项均为0的常数列，
从而对?n∈N*，a2n=(n+2)2n-1，
所以数列{a2n}的通项公式是a2n=(n+2)2n-1(n∈N*)．…（7分）?n∈N*，

a2n

2n

=

n+2

2

，

a2n+1

2n+1

-

a2n

2n

=

n+3

2

-

n+2

2

=

1

2

，

a2

2

=

3

2

，
所以数列{

a2n

2n

}是首项为

3

2

，公差为

1

2

的等差数列．…（9分）
（Ⅲ）?n∈N^*，n≥2，bn=a2n-1=

2n-1

2

a2n-1+

1

2

=

2n-1

2

(n+1)2n-2+

1

2

=(n+1)(22n-3-2n-3)+

1

2

，b1=a21-1=a1=1也适合上式．
所以数列{b_n}的通项公式为bn=(n+1)(22n-3-2n-3)+

1

2

(n∈N*)．…（11分）
（解法一）设数列{（n+1）qⁿ}的前n项和为T_n，则当n∈N^*，q≠1，q≠0时，T_n（q）=2q+3q²+4q³+…+nq^n-1+（n+1）qⁿ，qT_n（q）=2q²+3q³+4q⁴+…+nqⁿ+（n+1）qⁿ⁺¹，

(1-q)Tn(q)=2q+q2+q3+…+qn-(n+1)qn+1=(q-1)+1+q+q2+q3+…+qn-(n+1)qn+1=(q-1)+ 1-qn+1 1-q -(n+1)qn+1

Tn(q)=-1+

1-qn+1

(1-q)2

-

(n+1)qn+1

1-q

．…（12分）
∵bn=

1

8

(n+1)4n-

1

8

(n+1)2n+

1

2

(n∈N*)，∴Sn=

1

8

Tn(4)-

1

8

Tn(2)+

n

2

=

1

8

[-1+

1-4n+1

9

+

(n+1)4n+1

3

]-

1

8

[-1+1-2n+1+(n+1)2n+1]+

n

2

∴Sn=

(3n+2)22n-1+9n•2n-2-1

9

+

n

2

．…（14分）
（解法二）利用待定系数法可得：对?n∈N^*，有(n+1)22n-3=(

4n

3

+

8

9

)22n-3-(

4n-4

3

+

8

9

)22n-5，
（n+1）2^n-3=2n×2^n-3-2（n-1）2^n-4，…（12分）
从而

n

k=1

(k+1)22k-3=(

4n

3

+

8

9

)22n-3-

8

9

×22n-5=

(3n+2)22n-1-1

9

，

n

k=1

(k+1)2k-3=2n×2n-3-2(1-1)21-4=n•2n-2，…（13分）
所以Sn=

(3n+2)22n-1+9n•2n-2-1

9

+

n

2

(n∈N*)．…（14分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的判定、通项公式求解，考查转化构造、计算能力．